冲刺篇 目标 120-150 分
压轴题不要求你"全会"，但要求你"会什么拿什么"：第一问必拿，第二问尽量，第三问写点思路。
压轴题得分策略（先看这个）
- 导数压轴：第一问通常是求切线/单调性/极值（送分）；第二问才难。
- 圆锥曲线压轴：第一问求方程（送分）；第二问联立后写韦达定理（拿步骤分）；第三问能写思路就写。
- 不会做也要写：设点、设直线、联立、韦达、判别式 —— 这些都是分值。
- 时间分配：压轴题留 20-25 分钟，别死磕最后一个空，回头检查前面更划算。
一、导数压轴四大模型
模型 1：零点个数问题
求 f(x) = 0 的根的个数，本质是看函数图象与 x 轴的交点。
- 求导，确定单调区间与极值；
- 算极值点的函数值（判断正负）；
- 看两端极限（x → ±∞ 时 f(x) 的走向）；
- 结合零点定理下结论。
模型 2：不等式证明
证 f(x) ≥ g(x)，等价于证 h(x) = f(x) − g(x) ≥ 0。
- 直接法：求 h(x) 的最小值 ≥ 0。
- 放缩法：常用 ex ≥ x + 1、ln x ≤ x − 1、sin x < x (x > 0)。
- 构造函数：把 h(x) 构造出来，利用单调性。
模型 3：恒成立求参数
∀x, f(x) ≥ 0 ⇔ fmin ≥ 0；
能分离时：a ≥ g(x)max 或 a ≤ g(x)min
模型 4：极值点偏移
若 x₁, x₂ 是 f'(x) = 0 的两根（或 f(x₁) = f(x₂)），要证 x₁ + x₂ > 2x₀：
- 构造 F(x) = f(x₀ + x) − f(x₀ − x)，判断其在 (0, +∞) 上的符号；
- 由 F(x₁ − x₀) 的符号推出不等式。
技巧：先证 f(x) 的对称性，再用单调性把"和"转化为"差"。
必备放缩不等式
ex ≥ x + 1 ≥ ln(x + 1) + 1
ln x ≤ x − 1 ≤ x²2 − 1 (x > 0)
二、圆锥曲线压轴三大套路
套路 1：联立 + 韦达（万能第一步）
设直线 y = kx + m（或 x = my + t），代入曲线得 Ax² + Bx + C = 0，写出：
Δ > 0，
x₁ + x₂ = −B/A，
x₁x₂ = C/A
这一步基本能拿到该题 1-2 分，务必写。
套路 2：定点 / 定值问题
- 定点：设直线 y = kx + m，通过条件把 m 表示成 k 的函数（如 m = −2k + 1），得 y = k(x−2) + 1，直线过定点 (2, 1)。
- 定值：把要证的量用韦达定理表示，化简后发现 k、m 抵消。
套路 3：面积最值
S = ½ |AB| · d = ½ √(1+k²)|x₁−x₂| · |m|√(1+k²) = ½ |m| · |x₁ − x₂|
再把 x₁ − x₂ 用韦达写成含 k, m 的式子，最后用基本不等式或二次函数求最值。
常见二级结论（选填可用）
- 椭圆焦点弦 |AB| = 2b²a / (1 − e²cos²θ) 形式（了解即可）。
- 抛物线 y² = 2px 过焦点弦 |AB| = x₁ + x₂ + p。
- 椭圆上一点到两焦点距离之和恒为 2a —— 找点、证距离常用。
三、数列不等式
1. 放缩法证不等式
要证 Sn < c，常把 an 放大成可求和的形式：
1n² < 1n(n−1) = 1n−1 − 1n (n ≥ 2)
12n = 12n−1 − 12n
2. 数学归纳法
- 奠基：验证 n = n₀ 时命题成立；
- 假设：设 n = k 时成立；
- 递推：用假设证 n = k+1 也成立。
3. 通项放缩技巧
常见：an = 2n 型用等比求和；an = n·2n 型用错位相减；an = 1/(n²) 型用裂项放缩。
四、创新题 / 新定义题
应对策略
- 读懂定义：把题目给的新规则翻译成数学语言（逐句读，划关键词）；
- 代入验证：用 n = 1, 2, 3 试算，找规律；
- 回到旧知识：新定义题 90% 最后都归结到函数、数列、不等式；
- 写结论：即使推不出完整证明，写出"由定义可得…"也能拿步骤分。
常见类型
- 新运算 / 新符号（如定义 a ⊕ b）；
- 数列新定义（如"好数列""平衡数列"）；
- 函数新性质（如"类周期""对称函数"）；
- 组合计数 / 集合新定义。
压轴题检查清单
- ☐ 定义了变量（设点、设直线）吗？
- ☐ 写了 Δ > 0 吗？
- ☐ 韦达定理写对了吗（符号别搞反）？
- ☐ 最后一步的范围/最值有没有考虑定义域？
- ☐ 分情况讨论有没有漏（参数正负、斜率存在性）？
最后一步：去 测试页 做一次计时测验，看看这几周到底进步了多少。